Anna Besson étudie d'abord au conservatoire à rayonnement régional de Perpignan et au conservatoire à rayonnement régional de Versailles. Puis en 2008, elle entre au Conservatoire supérieur de Genève dans la classe de flûte traversière de Michel Ballavance et dans la classe de traverso de Serge Saitta. Elle poursuit l'étude du traverso au Conservatoire national supérieur de musique et de danse de Paris, où elle est titulaire du Certificat d'Aptitude de flûte traversière.

Anna Besson est régulièrement associée aux concerts de l'Orchestre de l'Opéra National de Paris et participe à de nombreux festivals en France et à l'étranger. Elle se produit avec des musiciens appartenant à des orchestres de musique de chambre tels que l'Ensemble Contraste et le Quatuor Debussy.